|2006-01-11| e2 # Klausur vom 04.02.2004 Aufgabe 3
Eine Masse m1 liegt reibungsbehaftet auf einer schiefen Ebene. Sie ist durch ein dehnstarres Seil über eine Umlenkrolle (m3,r) mit einer weiteren, im Schwerefeld der Erde hängenden Masse m2 verbunden.
Geg: m1 = 3m ; m2 = 2m ; m3 = m ; α =10° ; μ = 0,05 ; Δh = 0,75m ; r
- Mit welcher Geschwindigkeit v trifft die Masse 2 auf den Boden (Stellung II), wenn die Massen aus der Ruhelage (Stellung I) losgelassen werden?
- Welche Kräfte wirken im Seil links (S1) und rechts (S2) der Seilrolle in der Stellung I , wenn sowohl Reibung als auch die Massenträgheit der Umlenkrolle vernachlässigt werden dürfen?
Lösung Aufgabenteil a)
ΔH)
'
sinα=ΔHΔh
ΔH=sinα·Δh=0,13m
Energieerhaltungssatz
EpotI2 − Wab = EkinII1+ EkinII2+EkinII3+EpotII1
Wab = μ ·N·s
(mit s=Δh) und (N=3m·g·cosα)
————————————————————————–
EpotI2 = 2·m·g·Δh
EpotII1 = 3·m·g·ΔH
EkinII1 = 32·m·V2
EkinII2 = m·V2
EkinII3 = 14·m·V2
————————————————————————–
2·m·g·Δh − μ·3m·g·cosα·Δh = 114 m·V2 + 3·m·g·ΔH
V =√4(2gΔh − 3·μ·g·cosα·Δh − 3gΔH)11
V = 1,89 ms
|2006-01-11| e3 # Klausur vom 07.07.2004 Aufgabe 4
Zwei Massen sind an Seilen befestigt, die auf miteinander fest verbundene Seilrollen gemäß Skizze auflaufen. In der gezeichneten Stellung I wird die Anordnung aus der Ruhelage heraus losgelassen. Nach einer gewissen Zeit durchläuft die rechte Masse dir (gestrichelt gezeichnete) Stellung II. Welche Geschwindigkeit hat jene Masse in dieser Stellung?
Geg:
m = 5 kg
Δh = 20 cm
r = 4 cm
g = 9,81 ms2
Lösung:
Energieerhaltungssatz
EPI = EKII + EPII
3m·g·Δh = m·g·2Δh + 12·m·4V2 + 32·m·V2 + 12·J1·ω2 + 12·J2·ω2
m·g·Δh = 72·m·V2 + 4·m·r2·(V2r)2 + 14·m·r2·(Vr)2
g·Δh = 72·V2 + V2 + 14·V2 = 194·V2
V = √ (g·Δh·419)
V = √ (9,81 ms2·0,2 m·419)
V = 0,64 ms
(Lösung müsste eigentlich stimmen R.N.)
Ich glaube du hast 12 vor 8·m·r2 vergessen. Das Ergebnis für v wäre dann 0,64 ms (Oliver)
Du hast recht, ich dabe den Fehler gerade Korrigiert (Ruben)
Wie kommt ihr auf die 4 vor dem V² in der obersten Zeile??? (J.R.)
Die große Rolle hat die doppelte Geschwindigkeit wie die kleine. Die 2 zum Quadrat ist dann die 4.
Ist die Aufgabe wirklich richtig??? (J.R.)
Das Ergebnis habe ich auch nicht heraus. 0,50 m/s Müsste eigentlich stimmen. J.C.
Top! Genau mein Ergebnis 0,503 m/s. (J.R.)
|2006-01-11| e4 # Klausur vom 02.02.2005 Aufgabe 4
Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit vI muss das gezeichnete Seilpendel mit der Punktmasse m nach oben schwingen, damit das Pendel die obere Stellung II mit gerade noch gespanntem Seil durchläuft?
Geg:
m = 5 kg
l = 20 cm
g = 9,81 ms2
Lösung:
Freischneiden Stellung II:
m·g = m·l·ω2 = m·v2 2l
g = v2 2l ⇒ v2 = √(g·l) = 1,4 ms
Energieerhaltungssatz:
EKI + EPI = EKII + EPII
EKI = 12·m·vI 2
EPI = 0 (Nullniveau)
EKII = 12·m·vII 2
EPII = m·g·2l
12·m·vI 2 = 12·m·vII 2 + 2·m·g·l
vI 2 = g·l + 4·g·l
vI = √(5·g·l) = 3,13 ms
Warum ist das nicht 1/2ml²*W²?
verstehe die Frage nicht…
|2006-01-11| e5 # Klausur vom 02.02.2005 Aufgabe 5
Das Jojo wird hier als zylindrische Seiltrommel aufgefasst, die in der gezeichneten Stellung aus der Ruhelage heraus losläuft. Nach einer gewissen Zeit durchläuft das Jojo eine um h tieferliegende Position. (Zur Vereinfachung sei das Seil als jederzeit vertikal ausgerichtet angenommen.)
Geg: m = 200g ; h = 50cm ; r = 2cm ; g = 9,81 ms2
- Welche Geschwindigkeit hat der Jojo-Mittelpunkt in der unteren Position?
- Welche Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl hat das Jojo dort?
- Welche Seilkraft wirkt in der unteren Stellung?
Lösung:
a)
Energieerhaltungssatz:
EKI + EPI = EKII + EPII
EKI = 0 (Ruhelage)
EPI = m·g·h
EKII = 12·mv2 + 12·J·ω2 = 12·mv2 + 12·12·mr2·v2r2 = 34·mv2
EPII = 0 (Nullniveau)
m·g·h = 34·mv2
v = √(4gh3) = 2,56 ms
b)
Winkelgeschwindigkeit
ω = vr = 2,56 ms0,02 m = 128 1s
Drehzahl
n = ω2π = 20,37 1s
c)
Freischneiden:
∑ Fy ≡ ma − mg + S = 0
∑ Mo ≡ S·r − J·α = 0
mit J = 12·mr2 und α = ar
S = J·αr = 12·mr2·arr = 12·ma
in Gleichung 1:
ma − mg + 12·ma = 0
g = 32·a ⇒ a = 23·g
a einsetzen:
S = mg − ma
S = mg − 23·mg = 13·mg = 0,654 N
zu Aufgabenteil c)
Indem man die Momentengleichung nach m·a umstellt und dies dann in die erste Gleichung (Summe aller Kräfte) einsetzt gelangt man schneller zur gleichen Lösung.
Konrad Solbrig
Natürlich sieht der gewiefte Rechner, dass man die Momentengleichung nach m·a umstellen und diese dann in die erste Gleichung einsetzen kann. Lob!
Gruß N.H.
|2006-01-11| e6 # Klausur vom 14.03.2005 Aufgabe 5
Die zylindrische Seiltrommel 1 ist mittels eines Seiles, das über eine masselose Umlenkrolle 3 läuft, mit einer Masse 2 verbunden. Aus der Ruhelage I heraus durchläuft das Körpersystem die Stellung II, in der die Seiltrommel 1 genau eine Umdrehung vollführt hat.
Geg: m = 500g ; r = 10cm ; g = 9,81 ms2
- Welche Absenkung h erfährt die Masse 2 ?
- Welche Geschwindigkeit v1 und Winkelgeschwindigkeit ω1 hat die Seiltrommel in der Stellung II ?
Lösung:
a)
h = 2πr (1 Umdrehung)
b)
Energieerhaltungssatz
EPI2 = EKII1 + EKII2
EPI2 = m·g·h
EKII1 = 12·2m·v2 + 12·J·ω2 = mv2 +12·12·2m·r2 ·v2r2 = 32·mv2
EKII2 = 12·mv2
mgh = 32·mv2 + 12·mv2
gh = 2v2
v = √(g·h2) = 1,76 ms
ω = vr = 17,6 1s
Warum wird EKII3 nicht berücksichtigt? Es liegt doch eine Geschwindigkeit vor, oder?
AHHHH, ich hab´s gemerkt! Ist ja Masselos und wird deshalb zu null! Aber: Müsste dann nicht für 3 ein Rdius gegeben sein?
Aber wofür der Radius? Durch die Masselosigkeit spielt Element 3 im Energieerhaltungssatz keine Rolle mehr! (J=12mr2 bei m=0) Bei der Winkelgeschwindigkeit wird nur Bezug auf Zylinder 1 genommen!
St.
Die Absenkung h stellt sich zusammen aus der Abwicklung des Seiles von der Trommel 1 um 2πr sowie der translatorischen Mittelpunktsbewegung von ebenfalls 2πr. Also ist h=4πr=1,257m.
N.K.
|2006-01-11| e7 # Klausur vom 06.07.2005 Aufgabe 5
Eine gestufte Zylinderrolle mit dem äußeren Radius 2r und dem inneren Radius r läuft aus der Ruheposition I in 4 Umdrehungen bis zur Position II eine schiefe Ebene herab. Während diese Bewegung wird eine Masse m über ein Seil aufgewickelt.
Ermitteln Sie
- den Hub h der Masse m
- die Geschwindigkeit des Rollenmittelpunkts in der Position II
- die Geschwindigkeit der Masse m in der Position II
Geg: m, r, α = 30°
Lösung:
Die beim Herunterrollen zurückgelegte Höhendifferenz entspricht:
4 Umdrehungen · 2·π·2·r · sin30°
Der beim Aufrollen des Seiles zurückgelegte Hub entspricht:
4 Umdrehungen · 2·π·r.
Also insgesamt:
h = 4 · 2·π·2·r · 0,5 − 4 · 2·π·r = 0
Die Masse bewegt sich demnach konstant auf einer Horizontalen.
b)
Energieerhaltungssatz:
EPI2 = EKII1+EKII2
EPI2 = 5·m·g·sinα·d = 40·m·g·π·r
EKII1 = 12·5m·v2 + 12·J·ω2
mit J = 12·4m·(2r)2 + 12·m·r2 = 172·m·r2
und ω2 = v24r2
EKII1 = 52·m·v2 + 12·172·m·r2·v24r2 = 5716·m·v2
EKII2 = 12·m·(v·cosα)2 = 12·m·v2·34 = 38·m·v2
40·m·g·π·r = 5716·v2 + 38·m·v2
40·g·π·r = 6316·v2
v = √(64063·g·π·r)
c)
vm = v·cosα = √32·v
|2006-01-11| e8 # Übungsaufgabe vom 11.01.06 morgens
Ein Fadenpendel ist an einem Festlager aufgehängt
und bewegt sich beim nach links schwenken um einen festen Punkt z. B. ein Stab oder ein ähnliches Gebilde.
Geg: m, l, γ
Ges: a) a so, dass Masse den Punkt 3 erreicht!
Man geht nun mit dem Energieerhaltungssatz vor:
1→2 ⇒ Ekin,1 + Epot,1 = Ekin,2 + Epot,2
Feststellung: Ekin,1 = 0 und Epot,2 = 0
Weil die Kugel in der Position 1 noch in Ruhelage ist, und sie in der Position 2 direkt auf der Nulllinie liegt.
m·g·l(1 − cos γ) = 12 m v2 2
v2,
also die Geschwindigkeit in der zweiten Position ist =
√ (2 · l · g (1 − cos γ))
2→3 ⇒ Ekin,2 + Epot,2 = Ekin,3 + Epot,3
Feststellung: Epot,2 = 0 und Ekin,3 = 0
12 m v2 2 = m·g·2·(l − a)
a = l − 12 l(1 − cos γ) = l2 (1 + cos γ)
Ges: b) ein minimales v im dritten Punkt, so dass die Kugel gerade noch nicht herunter fällt, sondern durchschwingt.
Kräfte: 
Die Forderung ist quasi
m·g = m·r·ω2
= m·v2 2r
v3 = √ q·(l−a)
erechnet mit n ( 2 | −1), a = 2 und b = 3
Erneut die Berechnung mit dem Energieerhaltungssatz:
Ekin,2 + Epot,2 = Ekin,3 + Epot,3
Feststellung: Epot,2 = 0
12 m v2 2 = 12 m v3 2 + m·g·2·(l − a)
m·g·l·(1 − cos γ) = 12·m·g·(l − a) + 2·m·g·(l−a)
52·l·(1 − cos γ) = (l − a)
a = l − 25·l + 25·l· cos γ
= 35 l + 25·l·cos γ
= 25·l·( 32 + cos γ)
|2006-01-11| e9 # Übungsaufgabe 1 vom 11.01.06
Eine große Rolle "3" wird durch eine Kleine "2" über ein Seil in Position gehalten und soll durch das Herablassen eines Gewichtes, das an dem Seil befestigt ist nach oben hin bewegt werden. Gesucht wird die Geschwindigkeit dieses Gewichtes "1" in der Position 2.
Gegeben sind m, r, h,
wobei die Größe h den Höhenunterschied des Gewichtes von Position 1 zu Position 2 vertritt.
Für den Fall von Start in die Bewegung:
Ekin1,1 + Ekin1,2 + Ekin1,3 + Epot1,1 + Epot1,2 + Epot1,3 =
Ekin2,1 + Ekin2,2 + Ekin2,3 + Epot2,1 + Epot2,2 + Epot2,3
Dabei sind folgende Größen = 0:
Ekin1,1, Ekin1,2, Ekin1,3, Epot1,2 + Epot1,3, Epot2,1, Epot2,2
⇒ Epot1,1 = 3·m·g·h
Ekin2,1 = 12·3·m·v2
Ekin2,2 = 12·J·ω2 = 12·12·m·r2·V2r2 = 14·m·v2
Ekin2,3 = 12·(4·m)·{v2}2 + 12·(12(4·m)·(2r)2)·(v2·2r)2 = 34·m·v2
Epot2,3 = (4·m)·g·(h2) = 2·m·g·h
3·m·g·h = 32 m·v2 + 14 m·v2 + 34·m·v2 + 2·m·g·h | ·1m
g·h = 52·v2
v = √(25·g·h)
|2006-01-11| e10 # Übungsaufgabe 2 vom 11.01.06
Bei einer Pakettransportstrecke wird a) nach der Länge l der unteren Ebene gefragt, die den Effekt eines sanften Auffanges des Pakets hervorruft und auch b) nach der Federkonstante c bei Δl = 5 cm!
Geg:
m = 10 kg
μ = 0,15
γ = 15°
h = 3 m
V2 = V1 = 0,1 ms
Ges:
a)Länge der Auslaufstrecke l.
b)Die Federkonstante c bei Δl = 5 cm
Zu a)
Energieerhaltungssatz:
Ekin1 + Epot1 − Wab = Ekin2 + Epot2
Dabei ist Epot2 = 0 weil in der zweiten Position das Nullniveau von dem Paket angenommen wird!
Ekin1 = 12 · m · v1 2 = 12 m (kg) · 0.01 (ms2)
Epot1 = m · g · h
Ekin2 = 12 · m · v2 2
Wab = μ · N1 · S1 + μ · N2 · S2
=μ · m · g · cos γ · hsin γ + μ · m · g · l
μ · m · g · htan γ + μ · m · g · l
12 m · v1 2 + m · g · h − μ · m · g · htan γ − μ · m · g · l = 12 · m · v2 2 | · 1m · g
l = 1 − μtan γμ · h = l = 1 − 0,15tan 15°0,15 · 3m = 8,8 m
Zu b)
Gesucht wird nun die Federkonstante c, die die Auffangfeder haben muss bei gegebener Eindrückung!
Dabei gibt es wieder zwei Fälle:
1.: Das Paket berührt gerade die Feder, ohne sie schon zusammengeschoben zu haben.
2.: Die Feder wurde um Δs zusammengeschoben und die Geschwindigkeit des Paketes ist = 0.
Gegebene Größen sind: m, μ, V0, Δs.
Erneut Energieerhaltungssatz:
Ekin1 + Epot1 − Wab = Ekin2 + Epot2
Dabei sind E{pot1} und E{kin2} = 0 weil das Paket im ersten Fall genau auf dem gewählten Nullniveau liegt und wiel im 2. Fall nichts mehr in Bewegung ist aber die Entfernung der Feder vom eigenen Nullniveau vorhanden ist!
Ekin1 = 12 · m · v0 2
Wab = R · Δs = μ · m · g · Δs
Epot2 = 12 · c · Δs2
⇒ 12 · m · v0 2 − μ · m · g · Δs = 12 · c · Δs2
c = m · V0 2Δs2 − 2μ · m · gΔs
Je nachdem, was man hier einsetzt, kommt man auf die jeweilige Konstante c!
l gegeben - l gesucht?
l ist also h in der Aufgabenstellung nehme ich an!
Und tan von 35? tan von 15 laut AS, oder nicht!?
CB
korrigiert
