[edit] [comment] [remove] |2005-07-06| e1 # Zugbolzen

zugbolzen.png Ein Zugbolzen mit dem Kopfdurchmesser ØD, der Kopfhöhe h und dem Schaftdurchmesser Ød = 10 mm wird durch die Kraft F = 10 kN belastet. Welche Werte sind für D und h zu wählen, wenn die zul. Scherspannung 60 N⁄mm2 und die zul. Flächenpressung 20 N⁄mm2 nicht überschritten werden darf?

Lösung:

a)

pzul ≤ 4 Fπ(D2 − d2)
D ≤ √ (4 Fπ pzul + d2) = ... = 27.14 mm

b)

τzul ≥ Fπ d h
h ≥ Fπ d τzul = ... = 5.31 mm

  Bei Aufgabenteil b ist doch sicher klein d im Nenner gemeint oder???? Ja aber ganz sicher!!!!

Ganz sicher!!

Genau und deswegen wird das jetzt geändert! 16.03.06 CSE

[edit] [comment] [remove] |2005-07-06| e2 # Schnittgrössen eines Balkens

balken.png Ein Balken ist statisch bestimmt mittels Festlager A und Stab 1 gelagert und trägt die skizzierte Streckenlast.

  1. Ermitteln Sie die Schnittgrössen des Balkens an der Stelle D
  2. Welchen Radius muss der Stab 1 mit Kreisquerschnitt erhalten, wenn eine Knicksicherheit von 2 eingehalten werden muss?

Geg: q = 2 kNm ; a = 1 m; E = 105 Nmm2

Lösung:

balken-1

Lager-/Stabkräfte

∑ Fx ≡ Ax + 12√ 2 S = 0
∑ Fy ≡ Ay − 12√ 2 S − qa − 3qa = 0
∑ MA ≡ −12√2 S·3a − 3qa·32a − qa·23a = 0
Ax = 3118 qa = ... = 3.4 kN
Ay = 4118 qa = ... = 4.6 kN
S = −3118 √ 2 qa = ... = −4.9 kN

Schnittgrössen

→ : −N − 12 √ 2 ·3118 √ 2 qa = 0
↑ : Q + 12 √ 2 · 3118 √ 2 qa − qa = 0
↵ : −M + 3118 √ 2 qa · 12 √ 2 a − qa · a2 = 0

balken-2.png

N = −3118 qa = ... = −3.4 kN
Q = 1318 qa = ... = 1.4 kN
M = 119 qa2 = ... = 2.4 kNm

Sicherheit gegen Knicken nach Euler

2 · S = π2 E·Iminlk2
Imin = 14 π r4
lk = √ 2 · a
r = (16 S a2π3 E)1⁄4 = (16·4900·10002π3·105 N·mm2·mm2N)1⁄4 = 70 mm

wie kommen sie auf den lk wert? Sie haben mit lk= Wurzel(2) * a gerechnet. wie kommt dieser Wert zustande? Welchen Fall haben sie dazu verwendet?

(tm)

Das ist ist der erste Eulerfall mit lk = l.

Allerdings erhalten wir aus dem Maß a die Stablänge zu

l = √2 · a

(sg)

müsste das denn nicht l=1/2Wurzel(2)a heißen? l ist doch die Länge des Stabes, oder nicht? dann ist das doch der Sinussatz bzw. Cosinussatz also 1/2Wurzel(2)a

(TM)

aus

l2 = a2 + a2

folgt das Obige …

(sg) ——-

dann heißt es aber :

l = √2 ·a2

(M.P.)

Ich kann ja zwei Wurzeln daraus machen.

Also aus Wurzel 2 mal a² mache ich Wurzel 2 mal Wurzel a². Und die Wurzel aus a² ist a. Dann bleibt Wurzel 2 mal a stehen.

CB

[edit] [comment] [remove] |2005-07-06| e3 # Rundstäbe

Drei Rundstäbe aus identischem Material sind gemäß Skizze gelagert. Im Fall I liegt Spannungsfreiheit vor. Im Fall II haben sich die Einspannstellen durch thermische Einflüsse um den Betrag Δl verschoben.

staebe.gif

Ermitteln Sie

  1. die Kräfte in den Einzelstäben 1, 2, 3.
  2. die Spannungen in den Einzelstäben 1, 2, 3.

Lösung:

Aus statischer Sichtweise liegt hier ein einzelner Druckstab vor. Die Kräfte in allen drei Segmenten sind gleich.

S1 = S2 = S3 = S

Die Summe aller Einzeldehnungen ist Δl.

Δl = Δl1 + Δl2 + Δl3

mit

Δli = S·lE·Ai

ist

Δl = S·lE (1A1 + 1A2 + 1A3) = S·lE (4πd2 + 1πd2 + 4πd2) = 9·S·lE·π·d2

bzw.

S = Δl·E·π·d29·l

Die Spannungen in den Einzelstäben

σi = SAi

sind

σ1 = σ3 = 4·Sπ·d2 = 49Δll · E
σ2 = Sπ·d2 = 19Δll · E
 

[edit] [comment] [remove] |2005-07-06| e4 # Flächenvergleich

flaechen.png Ein Balken mit Kreisquerschnitt soll durch einen mit Rechteckquerschnitt gleicher Höhe ersetzt werden. Das Widerstandsmoment bezüglich der horizontalen x-Achse soll sich dabei nicht ändern. Ermitteln Sie

  1. die Breite b des Rechtecks
  2. die Änderung des Flächenträgheitsmoments Ixx
  3. die Änderung der Querschnittsfläche A

Lösung:

a) Aus der Forderung nach Gleichheit der Widerstandsmomente

14 π r3 = 16·b (2·r)2

folgt direkt

b = 38 π·r

b) Die Änderung des Flächenträgheitsmoments Ixx beträgt

ΔIxx = Ixx,Kreis − Ixx,Rechteck = 14 π·r4 − 112· (38 π·r) · (2r)3 = 0

c) Die Änderung der Fläche ist

ΔA = AKreis − ARechteck = π·r2 − 38 π·r · 2·r = 14 π·r2
 

[edit] [comment] [remove] |2005-07-06| e5 # Zylinderrolle auf schiefer Ebene

rolle.png Eine gestufte Zylinderrolle mit dem äusseren Radius 2r und dem inneren Radius r läuft aus der Ruheposition I in 4 Umdrehungen bis zur Position II eine schiefe Ebene herab. Während dieser Bewegung wird eine Masse m über ein Seil aufgewickelt. Ermitteln Sie

  1. den Hub h der Masse m
  2. die Geschwindigkeit des Rollenmittelpunkts in der Position II
  3. die Geschwindigkeit der Masse m in der Position II

Geg: m, r, α = 30°

Lösung:

a) Der Weg d wird in 4 Umdrehungen zurückgelegt.

d = 4 · 2·π (2 r) = 16 π r

Die Hubhöhe h setzt sich aus der aufgewickelten Seillänge und der Absenkung des Rollenmittelpunkts zusammen.

h = 4 · 2·π·r − d·sin α = 8 π r − 8 π r = 0

Die Masse m führt also eine rein horizontale Bewegung durch.

b) Der Energieerhaltungssatz für dieses konservative System lautet

EKI + EPI = EKII + EPII
5 m·g·d·sin α = 12 (5 m) vR2 + 12·J·ω2 + 12 m (vR·cos α)2

Mit dem Massenträgheitsmoment der Rolle als Summe ihrer Segmente

J = 12(4·m)·(2·r)2 + 12·m·r2 = 172·m·r2

und der Rollbedingung

vR = 2·r·ω

erhalten wir

52·g·(16·π·r) = 52·vR2 + 1716·vR2 + 38·vR2 = 6316·vR2

bzw.

vR = √(64063·π·g·r)

c) Die rein horizontale Geschwindigkeit der Masse m resultiert direkt aus vR

vm = vR·cos α = 12·√3·vR