[edit] [comment] [remove] |2006-02-03| e1 # Querschnittsflächen

Flächen Ein Balken mit Rohrquerschnitt soll durch einen Balken mit Rechteckquerschnitt unter Beibehaltung des Widerstandsmoments Wx ersetzt werden.

  1. Ermitteln Sie die Breite b des Rechteckquerschnitts
  2. Resultiert eine Materialeinsparung? Wenn ja, wieviel Prozent beträgt diese?

Lösung 1a

Wrechteck =! Wring
16·b(4r)2 = 14·π(2r)4 − r42r
166·br2 = 158·πr3
b = 4564·π·r


Lösung 1b

ArechteckAring = b·4rπ((2r)2 − r2) = 4516·πr23πr2 = 4548

Die Ersparniss erechnet sich nunmehr als Quotient aus der Differenz der beiden Flächen zur Rechteckfäche

345 = 0,0666− daraus ergeben sich 6,666−% Ersparniss
 

[edit] [comment] [remove] |2006-02-03| e2 # Tragwerk

Ein Rahmen ist statisch bestimmt mittels Festlager A und Stab S gelagert und trägt die skizzierte Einzel- und Streckenlast.

Tragwerk
Geg: a = 25 cm, b = 25 a, F = 1 kN, q = 3 Fa, E = 2.1·105 Nmm2

  1. Ermitteln Sie die Schnittgrössen des Balkens an der Stelle G.
  2. Welchen Radius muss der Stab S mit Kreisquerschnitt erhalten, wenn eine Knicksicherheit von 2 eingehalten werden muss?

Lösung 2a

Tragwerk

(1)∑Fx ≡ Ax + 12√2·S − 32·F = 0
(2)∑Fy ≡ Ay + 12√2·S − F = 0
(3)∑MA ≡ √2·a·S − F·4a − 32·F·23·a = 0

3 aufgelöst nach S

(4)S = 4Fa + Fa√2·a = 52·√2·F = 3,5355 kN

3 in 2

(5)Ay = F − 52·F = −1,5 kN

3 in 1

(6)Ax = 32·F − 52·F = −1,0 kN

Schnittgrössen: Schnittgrössen


(7)→: N + Ax = 0 ⇒ N = F = 1 kN
(8)↓: − Q + Ay = 0 ⇒ Q = − 32·F = −1,5 kN
(9)↵: M −(−32·F)·a = 0 ⇒ M = 0,375 kNm

\\

Lösung 2b

Knickfall 2

(11)lK = l = √2·2a
(12)S = FK = 52·√2·F = 3,5355 kN
(13)Imin = 14·πr4
(14)FK = π2E·Iminl2K

11, 12, 13 in 14 und umgestellt nach Imin

(15)(√2·2a)2·2·52·√2·FE·π2 = 14·πr4

aufgelöst nach r

(16)r4 = √2·160·1000·25022,1·105·π3
(17)r = 6,8267 mm

Zieht das Seil S beim Freischneiden bei der Summe der Momente um den Punkt A nicht in die andere Richtung? Bei der Summe der Momente in X und Y Richtung ist es ja auch negativ.

Ja, kleiner Vorzeichen fehler!
Entweder muss in Gleichung (3) ein minus vor die S Komponente oder in den Gleichungen (1) und(2) ein plus.
Nach dem Freischnitt ist ganz klar das ein plus vor den S Komponenten in den Gleichungen (1) und (2) richtig ist. Ganz klar ein Druckstab!
Die Ergebnisse sind aber trotz allem richtig!
geändert am 6.03.2006
Danke CSE
Noch ein kleiner Rechenfehler in Gleichung (9)! da waren seither 0,25kNm anstatt 0,375kNm eingetragen.
geändert am 6.03.2006
Danke CSE

—–

zu (9) - muss das Moment nicht negativ sein??? -> M+3/2Fa=0 -> M=-3/2Fa (S.F.)

—–

[edit] [comment] [remove] |2006-02-03| e3 # Rahmen

Ein einseitig eingespannter, biegeweicher, dehnstarrer Rahmen wird an seinem Ende durch die skizzierte Einzelkraft F belastet.

Rahmen

Ermitteln Sie

  1. die Vertikalverschiebung des Rahmenpunkts B.
  2. die Horizontalverschiebung des Rahmenpunkts C (vertikalen Rahmenteil bitte als starr annehmen).

Geg: a = 25 cm, b = 25 a, F = 1 kN, E = 2.1·105 Nmm2
—-

Lösung 3a


Rahmenfreigeschnitten
Durch Superposition werden die Lastfälle aufgeteilt und nacher Addiert.
Fall 1
Verforung 1

(1)−w1 = 13·12·√2·F·l3E·I

mit

(2)I = 112·2b·b3 = 16·b4 = 16·16625·a4

Fall 2

Verforung 2

(3)w2 = 12·M·l2E·I

mit

(4)M = 12·√2·F·a

und I wie in Gleichung 2
Durch Addition der beiden Werte erhalten wir die Gesamtverschiebung wges

(5)wges = w2 + (− w1)

hier eingesetzt 3 mit 4, 1

(6)wges = 12·12·√2·Fa·(4a)2E·I − 13·12·√2·F·(4a)3E·I
(7)wges = (4 − 323)·√2·Fa3E·I

I ersetzt durch 2

(8)wges = −2500016·√2·Fa3E·a4
(9)wges =−31252·√2·10002,1·105·250

Der Balken senkt sich somit im Punkt B um -0,0420 mm.

Lösung 3b

Wie oben kann nun mit der Verschiebung in der Horizontalen verfahren werden. Der Winkel α der sich als Tangente zum endpunkt des Balkens ergibt ist gleich dem Winkel der sich zwischen Vertikalem Balkenstüch und Normalen einstellt. Die Verschibung in x ist somit Δxi = sinα·a.

(1)− Δx1=sin·arctan12·F·l2E·I·a
(2)Δx2=sin·arctanM·lE·I·a
(3)I = 16·b4 = 16·(25·a)4

Δxges = (2) + (1) mit (3) Eingesetzt

(5)Δxges = sin·arctanM·lE·I·a + (− sin·arctan 12·F·l2E·I·a)
(6)(sin arctan 18754·√2·10002,1·105·250)·(−1)

Der Punkt C verschiebt sich in der Horizontalen um -0,01265 mm

 

[edit] [comment] [remove] |2006-02-03| e4 # Rollen

Eine Seil läuft von der frei hängenden Masse 1 über eine frei drehende Rolle 3 auf die Seiltrommel 2. Aus der Ruheposition I bewegt sich das Körpersystem durch die Position II, während der abwärts sinkende Klotz die Trommel die schiefe Ebene hinauf zieht.

Rollen

Ermitteln Sie

  1. den Weg s des Trommelmittelpunkts.
  2. die Geschwindigkeit v des Klotzes 1 in der Position II
  3. die Zeitdauer t der Bewegung von I nach II.

Geg: Δh = 0.5m, γ = 30° —-

Lösung 4a

(1)s = Δh2

Lösung 4b

(2)EpotI + EkinI = EpotII + EkinII
(3)EpotI1 = EpotII2 + EkinII1 + EkinII2 + ErotII3
(4)3mgΔh = 4mg·sinγ·Δh2 + 12·3mv2 + 12·4m(v2)2 + 12·J2 ω22 + 12·J3 ω23

mit

(5)J2 = 12·(4m)·r2 und ω2 = v2r
(6)J3 = 12·m·(2r)2 und ω3 = v2r

Eingesetzt in (4)

(7)mgΔh (3 − sinγ 2) = 32·mv2 + 12·mv2 + 12·12·4m·r2·v24r2 + 12·12·m·4r2·v24r2
(8)mgΔh (3 − sinγ 2) = (32 + 12 + 14 + 14)·mv2
(9)v2 = 25·gΔh(3−1)
(10)v = 2·√(gΔh)5

Die Last 1 bewegt sich mit 1,98 ms im Punkt II nach unten.

Lösung 4c

(11)s = s0 + v0·t + 12·a·t2 mit a = ΔvΔt
(12)s = 12·at2 = 12·ΔvΔt·t2
(13)t = 2Δhv

Es verstreichen dabei 0,505050 s