[edit] [comment] [remove] |2006-07-03| e1 # Flächen

Ein Rechteckquerschnitt soll durch einen Kreisringquerschnitt ersetzt werden, dessen Durchmesser der Rechteckhöhe entspricht. flaechen.png

  1. Welches Mass muss der innere Radius r erhalten, wenn die Widerstandsmomente Wx bei beiden Querschnittsflächen gleich sein sollen?
  2. Welche/r Materialeinsparung/-mehraufwand resultiert (in %)?

Geg: R = 100 mm

Lösung:

a) Gleichsetzen der Widerstandsmomente

Wx,Ring = Wx,Rechteck

führt auf

π4R·(R4 − r4) = 16 · R · (2R)2

Vereinfachen

π4 R4 − π4 r4 = 23 R4

und Auflösen nach r ergibt

r = R (1 − 83π)1⁄4 ≈ 0.62 R

b) Ermittlung der Flächen

ARechteck = 2R2
ARing = π·(R2 − r2) = π·R2·(1 − 0.622) ≈ 1.93 R2

führt zu einer Materialeinsparung

ARechteck − ARingARechteck = 0.035

von 3.5 %

 

[edit] [comment] [remove] |2006-07-03| e2 # Zugbolzen

Ein Zugbolzen wird an seinem Ende durch eine unter 45° angreifende Kraft F belastet. zugbolzen.png

Geg: Ød = 60 mm, l = 80 mm, F = 30kN

  1. Welche Zugspannung wirkt im Schaft?
  2. Welche max. Biegespannung wirkt im Schnitt A–A?
  3. Welcher Kopfdurchmesser ØD ist bei einer zul. Flächenpressung von 120 N⁄mm2 notwendig?
  4. Welche Kopfhöhe ist bei einer zul. Scherspannung von 60 N⁄mm2 erforderlich?

Lösung:

  1. σz = 1⁄2√2 F1⁄4 πd2 = ... = 7,5 Nmm2
  2. σb = MbW = 1⁄2√2 F·l1⁄32 πd3 = ... = 80 Nmm2
  3. pzul ≥ 1⁄2√2 Fπ4(D2 − d2) => D ≥ √(2√2 Fπ Pzul + d2) = ... = 61,8 mm
  4. τzul ≥ 1⁄2√2 Fπdh => h ≥ 1⁄2√2 Fπdτzul = ... = 1.9 mm
 

[edit] [comment] [remove] |2006-07-03| e3 # Balkenbiegung

Ein einseitig eingespannter Balken wird durch zwei Einzelkräfte gemäss Skizze belastet.

balken.png

Geg: EI = const, a, F

Ges: Absenkung des Balkenendes.

balken-2.gif

Lösung: wges = wI + wII + wIII

wI = 13 2F·(3a)3EI = 18 Fa3EI
wII = 12 2F·(3a)2EI·a = 9 Fa3EI
wIII = 13 F·(4a)3EI = 643 Fa3EI
wges = 1453 Fa3EI
 

[edit] [comment] [remove] |2006-07-03| e4 # Jojo

Jojo.png Das Jojo wird hier als zylindrische Seiltrommel aufgefasst, die in der gezeichneten Stellung aus der Ruhelage heraus losläuft. Nach einer gewissen Zeit durchläuft das Jojo eine um h tieferliegende Position. (Zur Vereinfachung sei das Seil als jederzeit vertikal ausgerichtet angenommen.)

  1. Welche Geschwindigkeit hat der Jojo-Mittelpunkt in der unteren Position?
  2. Welche Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl hat das Jojo dort?
  3. Welche Seilkraft wirkt in der unteren Stellung?

Geg: m = 200 g, h = 500 mm; r = 20 mm; g = 9.81 m⁄s2

Lösung:

a) Energieerhaltungssatz

mgh = 12 mv2 + 12 Jω2

mit

J = 12 mr2 ; ω = vr

erhalten wir

mgh = 12 mv2 + 12 · 12 mr2 · v2r2

bzw.

gh = 34 v2

und damit

v = 2√(gh3) = 2√(9,81·0.53 · m2s2) = 2,56 ms

b)

ω = vr = 128 rads
n = ω2π = 20.4 1s

jojo-1.gif c) Gleichgewichtsbedingungen

∑ Fy ≡ S + m·a − m·g = 0
∑ M0 ≡ S·r − J·α = 0

mit

J = 12 mr2 ; α = ar

lautet die Momentengleichung

S·r − 12 mra = 0

aus der Kräftegleichung in y-Richtung erhalten wir

ma = mg − S

und eingesetzt

S − 12 mg + 12 S = 0

bzw.

S = 13 mg = ... = 0.65 N

zu b) ich hab für w 128 1/s raus! wie kommen Sie auf 5.11?? (S.F.)

ja klar … Abschreibfehler … hab' ich korrigiert. Danke. (sg)