|2006-04-14| e2 # Klausur vom 09.07.2003 Aufgabe 3
Das Maß a der dargestellten Fläche soll so gewählt werden, dass der Flächenschwerpunkt genau auf dem Schnittpunkt der strichpunktierten Linien liegt.
Ermitteln Sie das Längeverhältnis a/d.
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| i | Ai | xsi | ysi | Ai·ysi |
| 1 | a·d | 0 | − a2 | − a2·d2 |
| 2 | π2·d24 | 0 | 2d3π | d312 |
| ∑ | π·d28+ad | − | − | d312 − a2·d2 |
Gesamtschwerpunkt nach Flächenformel gleich 0 setzen:
ys = d312 − a2·d2π·d28+ad = 0
Längenverhältnis berechnen:
d312 = a2·d2
d3 = 6·a2·d
d2 = 6·a2
a = √(d26) = d√6
ad = 1√6
|2006-04-18| e3 # Klausur vom 04.02.2004 Aufgabe 2
Bei dem dargestellten Stehaufmännchen muss der Gesamtschwerpunkt unterhalb der gestrichelten Linie liegen. Ermitteln Sie für den Grenzfall die Höhe h des oberen Dreiecks so, dass der Gesamtschwerpunkt genau auf der gestrichelten Linie liegt. Geben Sie hierfür das Längenverhältnis h/r an.
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| i | Ai | xsi | ysi | Ai·ysi |
| 1 | π2·r2 | 0 | − 4r3π | − 23·r3 |
| 2 | r·h | 0 | h3 | 13·r·h2 |
| ∑ | π2·r2 + r·h | − | − | 13·r·h2 − 23·r3 |
Gesamtschwerpunkt nach Flächenformel gleich 0 setzen:
ys = 13·r·h2 − 23·r3π2·r2 + r·h = 0
Längenverhältnis berechnen:
13·r·h2 = 23·r3
h2 = 2·r2
h2r2 = 2
hr = √21
|2006-04-18| e4 # Klausur vom 07.07.2004 Aufgabe 2
Für das dargestellte Flächenstück mit a = 80 cm ist zu ermitteln:
- der Schwerpunkt bezüglich des eingezeichneten Koordinatensystems
- der Winkel β, den die Strecke AB zur Horizontalen einnimmt, wenn die Fläche frei hängend im Punkt A befestigt wird.
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| i | Ai | ysi | Ai·ysi |
| 1 | 2·a2 | a2 | a3 |
| 2 | − π·a28 | a − 2a3π | − π·a38 + a312 |
| ∑ | 2·a2 − π·a28 | − | a3·(1 − π8 + 112) |
Schwerpunkt bestimmen:
xs = a
ys = a3·(1 − π8 + 112)2·a2 − π·a28
ys = 34,37 cm
Winkel β berechnen:
tanβ = 34,37 cm80 cm = 0,43
β = 23,3°
wieso ist Xs = 0 ?? müsste doch lauten Xs = a !!! (bezüglich auf das eingezeichnete koordinatensystem
(ow)
|2006-04-18| e5 # Klausur vom 02.02.2005 Aufgabe 2
Die Breite des Unteren der beiden Rechtecke ist so zu dimensionieren, dass der Gesamtschwerpunkt genau auf der Trennlinie gemäß Skizze zu liegen kommt. Geben Sie den Wert von b als Vielfaches von a an.
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| i | Ai | xsi | ysi | Ai·ysi |
| 1 | a·b | 0 | − a2 | − 12·a2·b |
| 2 | 3·a2 | 0 | 32·a | 92·a3 |
| ∑ | 3·a2 + a·b | − | − | 92·a3 − 12·a2·b |
Gesmtschwerpunkt nach Flächenformel gleich 0 setzen:
ys = 92·a3 − 12·a2·b3·a2 + a·b = 0
Wert für b berechnen:
92·a3 = 12·a2·b
92·a = 12·b
b = 9·a
|2006-04-18| e6 # Klausur vom 06.07.2005 Aufgabe 3
Die Höhe h der Fläche ist so zu dimensionieren, dass der Gesamtschwerpunkt S in der gezeichneten Position liegt. Geben Sie den Wert von h als Vielfaches von a an.
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| i | Ai | ysi | Ai·ysi |
| 1 | a·h | − 12·h | − 12·a·h2 |
| 2 | a2 | 12·a | 12·a3 |
| 3 | − 12·a2 | 23·a | − 13·a3 |
| ∑ | a·h + 12·a2 | − | 16·a3 − 12·a·h2 |
Gesamtschwerpunkt nach Flächenformel gleich 0 setzen:
16·a3 − 12·a·h2a·h + 12·a2 = 0
Höhe h berechnen:
16·a3 = 12·a·h2
h2 = 13·a2
h = √(13) ·a
Frage: Wie können denn die Summe aus a·h ; und %u2212 1/2·a2 das Ergebnis :"a·h" liefern??? Ich persönlich finde es alles andere als hilfreich, dass hier grundsätzlich falsche Sachen online gestellt werden, weil man davon ausgeht, dass die online gestellten Ergebnisse richtig sind.(Hab jedenfalls nichts gegenteiliges gelesen) Es verwirrt so mehr als es hilft. Von der Idee her ist diese Seite super! Gruß Matthias
|2006-04-18| e7 # Klausur vom 01.02.2006 Aufgabe 1
Der Schwerpunkt einer quadratischen Fläche mit rechteckiger Aussparung soll bzgl. des angegebenen Koordinatensystems ermittelt werden.
- für s =34·a
- bei welchem Wert für s nimmt der Schwerpunkt seine tiefste Lage ein?
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| i | Ai | ysi | Ai·ysi |
| 1 | a2 | a2 | 12·a3 |
| 2 | − 18·a2 | 78·a | − 764·a3 |
| ∑ | 78·a2 | − | 12·a3 − 764·a3 |
Anwendung der Flächenformel:
ys = 12·a3 − 764·a378·a2 = 2564·a78 = 2556·a
b) tiefste Lage des Schwerpunktes:
die Höhe der Fläche 2 (also a-s) bezeichne ich mit x:
A2 = − a·x2
ys2 = x2
Gesamtschwerpunkt nach Flächenformel:
12·a3 − 14·a·x2a2 − 12·a·x
mit der Quotientenregel nach x ableiten und gleich 0 setzen:
− 12·a·x·(a2 − 12·a·x) − (− 12·a·(12·a3 − 14·a·x2))a4 − 14·a2·x2 = 0
nach x auflösen:
− 12·a3·x + 14·a2·x2 + 14·a4 − 18·a2·x2 = 0
− 4·a3·x + a2·x2 + 2·a4 = 0
x2 − 4·a·x + 2·a2 = 0
x mit der ABC-Formel berechnen:
x = 12·(4a ± √(16·a2 − 4·2a2))
x = 12·(4a ± √8 ·a)
x1 = 3,414a
x2 = 0,586a
am Anfang wurde x = a − s formuliert, um auf s zu kommen einfach s = a − x berechnen:
s = 0,414·a
Gleichung x1 wird nicht berücksichtigt, da s nicht negativ werden kann.
Wie komme ich den auf das ergebnis von b?????
zu a) Es hat sich in der Tabelle ein Fehler eingeschlichen: unten rechts muss es 1/2·a hoch 3 - 7/64·a hoch 3 heißen.
zu b) Das Ergebnis kann nicht stimmen (O-Ton Herr Goessner). Ich habe mal gerechnet und komme auf s = 0,41·a. Man schreibt zunächst die Gleichung für ys im allgemeinen Fall (mit s) hin. Diese Gleichung leitet man nach der Variablen s ab (Quotientenregel). Dann setzt man die Ableitung gleich Null, da ja eine Extremstelle für den y-Schwerpunkt gefragt ist. Jetzt löst man die erste Ableitung nach s auf. ulf
mist, ich hab für aufgabe b) auch ~0,5002… rausbekommen. komme nicht auf die 0,41a. kann jemand den Rechenweg posten? oliver
kommt umgehend, für jemanden der so heißt wie ich besonders gründlich!!
|2006-04-19| e8 # U-Profil
Geg:
a = 1 cm
Ges: Flächenschwerpunkt
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| i | Ai | xsi | ysi |
| 1 | 16·a2 | 0 | 0 |
| 2 | − 6·a2 | 0 | a2 |
| ∑ | 10·a2 | − | − |
Anwendung der Flächenformel:
xs = 0
ys = ∑ Ai · ysi∑ Ai = A1·ys1 + A2·ys2A1 + A2 = 0 − 6·a2·a210·a2 = − 310·a
a = − 310 cm
|2006-04-19| e9 # Stehaufmännchen
Bei dem dargestellten Stehaufmännchen mit dem Radius r = 2 cm soll die Höhe h so bestimmt werden, dass der Gesamtschwerpunkt auf die Trennlinie zwischen Rechteck und Halbkreis zu liegen kommt.
Lösung:
Bestimmung der Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte:
| Ai | i | xsi | ysi | Ai·ysi |
| 1 | 2rh | 0 | h2 | r·h2 |
| 2 | π2·r2 | 0 | − 4r3π | − 23·r3 |
| ∑ | 2rh+π2·r2 | − | − | r·h2 − 23·r3 |
Gesamtschwerpunkt nach Flächenformel gleich 0 setzen:
ys = r·h2 − 23·r32rh+π2·r2 = 0
Höhe h berechnen:
r·h2 = 23·r3
h2 = 23·r2
h = √(23) ·r
h = 1,63 cm
|2006-04-19| e10 # Transport-power and free Haken
Die Länge b eines Transportgehänges einer Power and Free-Förderer Anlage soll so bestimmt werden, dass der Gesamtschwerpunkt unterhalb der Aufhängung liegt.
Geg:
a = 1 m
Lösung:
Teillinien und Teillinienschwerpunkte bestimmen:
| i | li | xsi | ysi |
| 1 | a | 0 | 52·a |
| 2 | √8 ·a | − a | a |
| 3 | 2·a | − a | 0 |
| 4 | b | b2 | 0 |
| ∑ | 3+√8+b | − | − |
Gesamtschwerpunkt nach Linienformel gleich 0 setzen:
xs = − √8 − 2 + b223 + √8 + b = 0
b22 = √8 + 2
b2 = 2·√8 + 4
b = 3,11 m
|2006-04-19| e11 # Firmensymbol
Für das dargestellte Firmensymbol soll die Lage des Schwerpunktes bestimmt werden.
Geg:
a = 2 m
Lösung:
Teilflächen und Teilflächenschwerpunkte bestimmen:
| i | Ai | xsi | ySi |
| 1 | 10·a2 | 32·a | 8·a |
| 2 | 8·a2 | 0 | 5·a |
| 3 | 4·a2 | 0 | 0 |
| 4 | 92·π·a2 | 4aπ + a | 2·a |
| 5 | − π2·a2 | 4a3π + a | 2·a |
| ∑ | 22·a2 + 4·π·a2 | − | − |
Anwendung der Flächenformel:
xs = 10·a2·32·a + 92·π·a2·(4aπ + a) − π2·a2·(4a3π + a)22·a2 + 4·π·a2
xs = 40·3 + 18·π·(8·π + 2) − 2·π·(83·π + 2)88 + 16·π
xs = 2,6 m
ys = 80·a3 + 40·a3 + 9·π·a3 − π·a322·a2 + 4·π·a2
ys = 120·8 + 8·π·888 + 16·π
ys = 8,4 m
Hallo Herr Gössner,
kann es sein das Sie sich bei der Fläche des großen halbkreises verrechnet haben? A4=9/2 a²pi sowie xs4 = (4a/pi)+a
Danke für den Tipp, hoffe jetzt stimmt es.
|2006-06-06| e12 # U-Profil reloaded
Geg: a
Ges: Die Strecke h so, dass der Schwerpunkt am tiefsten liegt! (Tipp: Ableiten!)
Lösung:
Gesamtschwerpunkt nach Flächenformel:
ys = 18·a3 − a·h212·a2 − 2·a·h
mit der Qotientenregel nach h ableiten und gleich 0 setzen:
− a·h·(12·a2 − 2·a·h) − (18·a3 − a·h2) · (− 2·a)144·a4 − 4·a2·h2 = 0
nach h auflösen:
− 12·a3·h − 2·a2·h2 + 36·a4 − 2·a2·h2 = 0
36·a4 − 12·a3·h = 0
h = 36·a412·a3 = 13·a
