Die Flächenträgheitsmomente einer Fläche hängen nicht nur von der relativen Lage, sondern auch von der Orietierung des Bezugskoordinatensystems ab. Zur näheren Betrachtung untersuchen wir den Einfluß einer Drehung der Schwerpunktachsen einer Fläche um den Winkel φ ins ξ, η-System.

Die Transformationsvorschrift lautet

bzw:

Die Trägheitsmomente bezüglich des gedrehten ξ, η-Systems ermitteln wir aus

Mit den trigonometrischen Beziehungen

erhalten wir die

Transformationsgleichungen der Flächenträgheitsmomente bei einer Drehung des Bezugskoordinatensystems

Wie wir anhand dieser Gleichungen leicht nachvollziehen können, ist das polare Trägheitsmoment

invariant gegenüber einer Drehung des Bezugssystems. Demnach müssen sich also

und während der Drehung gegenläufig verändern, d.h. wenn größer wird, muß kleiner werden und umgekehrt, wenn deren Summe jederzeit konstant ist.^{14Zur Erinnerung: Die axialen Flächenmomente sind grundsätzlich positv.}

Diese Erkenntnis führt zur Frage, für welches φ die axialen Flächenmomente extremal werden.

Die Bedingung dafür lautet

oder

und liefert jeweils

Dieser Ausdruck besitzt im Bereich von 0° bis 360° zwei Lösungen, die sich um jeweils 90° unterscheiden.

Zur Beantwortung der Frage, welcher Winkel zum Minimum führt, ist die zweite Ableitung zu diskutieren.

Ein Einsetzen der Bedingungsgleichung für φ_extr liefert schließlich

mit

die

Hauptträgheitsmomente einer Fläche

(Maximum)
(Minimum)

Für die Hauptträgheitsmomente verschwindet das zugehörige Deviationsmoment. Die zugehörigen Koordinatenachsen heißen Hauptzentralachsen der Fläche. Diese stehen stets senkrecht aufeinander.

Zwischen der x-Achse und der Achse 1 des größten Flächenträgheitsmoments liegt der Winkel φ₁ mit

Für den praktisch bedeutsamen Sonderfall einer symmetrischen Fläche gilt:

Bei Flächen mit mindestens einer Symmetrieachse ist diese Symmetrieachse gleichzeitig Hauptzentralachse. Die andere ergibt sich zwangsläufig als senkrecht dazu verlaufende Schwerpunktachse.

In der Praxis hat der Ingenieur seltener die Aufgabe, die Flächenträgheitsmomente unregelmäßiger Gebilde zu ermitteln, als sehr viel öfter Flächen aus bekannten Einzelflächen zusammenzusetzen.

Fläche 1 = I oder doppel T-Profil, Fläche 2 = L-Profil, Fläche 3 = U-Profil

In diesem Zusammenhang findet der Steinersche Satz seine praktische Anwendung:

Satz: Flächenmomente verschiedener Flächen dürfen addiert werden, wenn sie auf die gleichen Bezugsachsen bezogen sind.

Regel: Wir berechnen die Flächenmomente beliebiger Flächen durch

• Zerlegung in bekannte Teilflächen
• Umrechnung der Teilflächen auf ein gemeinsames Koordinatensystem mittels des Steinerschen Satzes.
• Addition der Teilflächenmomente

Regel: "Löcher" können wir berücksichtigen, indem sowohl deren Fläche als auch deren Trägheitsmomente negativ angenommen werden.

Die Werte der Flächenträgheitsmomente hängen von der Lage des Koordinatensystems bezüglich der betrachteten Querschnittsfläche ab. Für beliebig viele parallel verschobene Koordinatensysteme sind demnach entsprechend viele unterschiedliche Flächenmomente vorhanden. Von besonderem technischen Interesse sind die Trägheitsmomente bezüglich der Schwerpunktkoordinatenachsen.

Hinsichtlich der Koordinatenachsen durch den Flächenschwerpunkt sind die Flächenmomente minimal.

Der Zusammenhang zwischen den Flächenmomenten bezüglich der Schwerpunktachsen (x,y) und beliebigen dazu parallelen Achsen (−x , −y ) wird beschrieben durch den

Satz von Steiner^{13Jacob Steiner (1796-1863)}

Die Formeln gelten nur unter der Bedingung, daß auf der rechten Seite der Gleichungen die Flächenträgheitsmomente bezüglich der Schwerpunktachsen vermehrt um die sog. Steinerschen Anteile stehen und links die für ein dazu paralleles Koordinatensystem.

Beispiele:

-	Ixx	Iyy	Ixy
Rechteck	b·h312	b3·h12	0
Kreis	π·d464=π·r44	πd464=πr44	0
Rechtwinkliges Dreieck	a·b336	a3·b36	a2·b272
Kreissektor	r472(18α+9sin2α−32sin2 αα)	r48(2α+sin2α)	0
Kreisabschnitt	r4144(36α−9sin4α−32sin2 αα−sinα·cosα)	r44 (α−23·sin2α+112·sin4α)	0
Halbkreis	r472(9π−64π)	r4·π8	0

Definition

In die Berechnung derFlächenmomente zweiten Grades bzw. der Flächenträgheitsmomente^{12Der Begriff "Flächenträgheitsmoment" hat mit Trägheit genau genommen nichts zu tun. Wegen seiner mathematisch formalen Ähnlichkeit zum Massenträgheitsmoment der Kinetik hat sich der Begriff jedoch allgemein durchgesetzt.} einer Querschnittsfläche gehen die Abstände eines betrachteten Flächenelements bezüglich einer Koordinatenachse quadratisch ein.

Demnach sind die Flächenträgheitsmomente folgendermaßen definiert:

Axiale Flächenträgheitsmomente

I_xx =  ∫A y² dA

I_yy =  ∫A x² dA

Deviationsmoment

I_xy = −  ∫A yx dA

Polares Flächenträgheitsmoment

I_p =  ∫A r² dA =  ∫A(x²·y²) dA = I_xx + I_yy

Es ist zu beachten, daß die Bezeichnung der Flächenträgheitsmomente die Bezugskoordinatenachse als Index enthält. Der Abstand eines Flächenstücks zu dieser Achse ist durch die Angabe der jeweils anderen Koordinate definiert. Das Flächenträgheitsmoment I_xx ergibt sich somit aus dem Abstand y zur x-Achse.

Anhand der Definition treffen wir einige

Aussagen über Flächenträgheitsmomente

• Flächenträgheitsmomente haben die Dimension "Länge hoch 4", z.B. cm⁴.
• Die Werte sind von der Form der Fläche und der Lage des Bezugskoordinatensystems abhängig.
• I_xx, I_yy und I_p sind für beliebige Flächen bei beliebigen Koordinatensystemen stets positiv.
• I_xy kann positiv, negativ oder Null sein. I_xy ist Null, wenn eine der Koordinatenachsen eine Symmetrieachse der Fläche ist.

Beispiel

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a und b sind Trägheitsmomente I_xx, I_yy, I_xy und I_p bezüglich des angegebenen Koordinatensystem zu ermitteln.

,,und