[edit] [comment] [remove] |2006-11-07| e1 # Bewegungswiderstände

Mit der Bewegung eines Körpers gehen allgemein Widerstandskräfte einher. Diese

  • entstehen erst während der Bewegung,
  • sind der Bewegung entgegengerichtet,
  • verlaufen tangential zur Bahn.

Wir untersuchen nachfolgend Bewegungswiderstände, die

  • konstant sind,
  • eine lineare Funktion des Weges sind, oder
  • eine lineare bzw.
  • eine quadratische Abhängigkeit von der Geschwindigkeit besitzen.

Bewegungswiderstände sind meist – jedoch nicht immer – unerwünscht.

 

[edit] [comment] [remove] |2006-11-07| e2 # Coulombsche Reibung

Haftung01.png
Die trockene Reibung wird über das weg- und geschwindigkeitsunabhängige

Coulombsche Reibungsgesetz

R = μ·N

mit
R = Reibungskraft
μ = Reibungskoeffizient
N = Normalkraft

beschrieben. Sie wird immer berücksichtigt, wenn sich zwei Körper relativ zueinander bewegen und in Richtung der gemeinsamen Tangente entgegen der Bewegung in Berührungspunkt, -line oder -fläche angetragen.

Der Reibungskoeffizient μ ist eine dimensionslose Konstante mit positivem Wert, die ausschließlich von Material und Oberflächenbeschaffenheit der beteiligten Körper abhängt.

Reibung geht einher mit Energie- und Leistungsverlusten. Erklärtes Ziel ist hier meist die Minimierung des Reibungskoeffizienten (Wälz-, Gleitlager, berührungslose Antriebe).

 

[edit] [comment] [remove] |2006-11-07| e3 # Coulombsche Haftung

Haftung02.png
In Berührungspunkt, –linie oder –fläche zweier Körper, die sich relativ zueinander im Ruhezustand befinden, kann eine Tangentialkraft übertragen werden. Die Materialien der hierbei als rauh bezeichneten Körperoberflächen legen den Haftungskoeffizienten μ0 fest. Es gilt das

Coulombsche Haftungsgesetz

H ≤ μ0·N

mit
H = Haftungskraft
μ0 = Haftungskoeffizient
N = Normalkraft

Die Haftungskraft ist eine – der Gelenkkraft entsprechende – innere Kraft, die immer als Kräftepaar auftritt. Im Gegensatz zu jener ist sie allerdings hinsichtlich ihres Betrages gemäß dem Coulombschen Haftungsgesetz beschränkt . Wird diese Haftungsgrenze überschritten, setzt Relativbewegung in Verbindung mit Reibung ein.

Haftung03.png
Die Haftung ist im Gegensatz zur Reibung kein Bewegungswiderstand. Sie ist demgegenüber vielfach notwendig, um überhaupt eine Bewegung zu ermöglichen. Beispiele sind:

  • Band-, Rollenförderer
  • Kraftübertragung angetriebener Strassen- oder Schienenfahrzeuge
  • Strassenfahrzeug in Kurvenfahrt
  • Streuen bei Glatteis

In solchen Fällen wird eine Maximierung des Haftungskoeffizienten angestrebt.

 

[edit] [comment] [remove] |2006-11-07| e4 # Wegabhängiger Bewegungswiderstand

Ein einfaches und technisch wichtiges Beispiel für einen wegabhängigen Bewegungswiderstand ist die lineare Feder.

FederWiderstand.png
Hierzu betrachten wir eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstanten c und der Länge l0 im ungespannten Zustand, die zum Zeitpunkt t0=0 eine gewisse Auslenkung s0 und keine Geschwindigkeit besitzt. Die Summe aller Kräfte in Bewegungsrichtung – einschliesslich der d'Alembertschen Trägheitskraft lautet

∑ Fs ≡ −ms•• − cs = 0

Die Einführung des konstanten Faktors ω2 = cm führt auf

s•• + ω2·s = 0

eine lineare, homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Deren allgemeine Lösung lautet

s(t) = A·cos ωt + B·sin ωt

Mit den gegebenen Anfangsbedingungen

s(t=0) = s0
s(t=0) = 0

erhalten wir über die Integrationskonstanten A und B

A = s0
B = 0

eine spezielle Lösung

s(t) = s0·cos ωt

als Gleichung der harmonischen (freien, ungedämpften) Schwingung.

 

[edit] [comment] [remove] |2006-11-07| e5 # Linear geschwindigkeitsabhängiger Widerstand

Einen solchen Bewegungswiderstand erfährt ein Körper in einer laminaren Strömung. Im Falle einer Proportionalität zwischen Widerstandskraft FW und der Geschwindigkeit v gilt das

Widerstandsgesetz (laminare Strömung)

Fw = k·v

Die Konstante k hängt dabei von der Körpergeometrie und der dynamischen Viskosität η ab.

Für beispielsweise eine umströmte Kugel nimmt die Konstante k den Wert

k = 6πηr

an.

 

[edit] [comment] [remove] |2006-11-07| e6 # Quadratisch geschwindigkeitsabhängiger Widerstand

Befindet sich ein Körper in einer schnellen, turbulenten Strömung, so wird die auf ihn wirkende Widerstandskraft proportional zum Quadrat der Srömungsgeschwindigkeit angenommen. Es gilt hier das

Widerstandsgesetz (turbulente Strömung)

FW = 12 cW ρ v2 A

mit
cW = Widerstandsbeiwert (Körpergeometrie)
ρ = Dichte des strömenden Mediums
v = Strömungsgeschwindigkeit
A = Körperprojektion auf Ebene senkrecht zur Anströmrichtung

 

[edit] [comment] [remove] |2006-11-07| e7 # Beispiel: Freier Fall mit Strömungswiderstand

Wir wollen einen Körper untersuchen, der im freien Fall dem Schwerefeld der Erde ausgesetzt sei. Auf ihn wirke neben der Gewichtskraft die Widerstandskraft der ihn umgebenden Luft. Die zusätzlich existierende Auftriebskraft sei als vernachlässigbar klein angenommen.

Die Kräftesumme in Fallrichtung s lautet damit

∑ Fs ≡ −ms•• + mg − FW = 0

bzw.

s•• = g − cW ρ A2m·s•2 = g·(1 − cW ρ A2mg·s•2)

Mit Hilfe der Schreibweise s•• = dsdt und der Abkürzung 1κ2 = cW ρ A2mg können wir durch Trennung der Variablen die Beziehung

dt = dsg·(1 − s•2κ2)

formulieren. Beidseitige Integration liefert

t = κg arctanh sκ + C

Mit der Anfangsbedingung s(t=0) = 0, also Fall aus der Ruhelage heraus, erhalten wir die Integrationskonstante zu C = 0.

Ein Umstellen nach s liefert den Geschwindigkeitsverlauf

s(t) = κ · tanh gtκ

FallMitLuftwiderstand.png
Der asymptotische Grenzwert des Tangens Hyperbolicus beträgt 1 für t → ∞ und liefert so die stationäre Sinkgeschwindigkeit

vs = κ = √(2mgcW ρ A)