Um den Arbeitsbegriff näher zu untersuchen, betrachten wir zunächst die Verschiebung der Masse m entlang des differentiellen Verschiebungsvektors dr.

Das Skalarprodukt von Kraft- und Verschiebungsvektor "filtert" genau jenen Anteil heraus (projektiver Charakter des Skalarprodukts) und resultiert in der differentiellen Arbeit

Augenscheinlich gilt:

• Die Arbeit ist ein Skalar.
• Die Arbeit ist positiv, wenn Kraft und Verschiebung gleichgerichtet sind.
• Die Arbeit ist null, wenn
  • die Kraft senkrecht zur Verschiebungsrichtung wirkt.
  • der Kraftangriffspunkt sich nicht bewegt, die Verschiebung also null ist.
  • die Summe aller Kräfte am Angriffspunkt null ist.

Nur äußere Kräfte können Arbeit verrichten – und nur dann, wenn sie einen Anteil in Wegrichtung besitzen. Reaktionskräfte können grundsätzlich keine Arbeit verrichten.

Arbeit als Wegintegral (Linienintegral)

(6.2)W = r₁∫r₀F·dr

mit

W = Arbeit

F = Kraft

dr = Verschiebungsvektor

Die Dimension der Arbeit ist M·L²·T ⁻².

Einheit der Arbeit

1 Nm = 1 J = 1 Ws

(1 kJ = 0.239 kcal)

Die Arbeit hat demnach dieselbe Dimension wie das Moment. Wohlgemerkt haben wir es jedoch mit unterschiedlichen Effekten zu tun.

Das Moment ergibt sich aus dem Kreuzprodukt und die Arbeit aus dem Skalarprodukt von Kraft und Länge.

Ein in der technischen Praxis wichtiger Sonderfall ist derjenige, in dem die Kraft F jederzeit in Richtung der Bahntangente und damit in die der jeweiligen Geschwindigkeit zeigt. Beispiele hierfür sind

• Reibung
• Bahnantriebe
• flurverfahrbare Fahrzeuge

Hierbei kann auf den Vektorcharakter in Gl. 6.2 verzichtet werden und entlang des Weges integriert werden.

Wenn in einem weiteren Spezialfall die Kraft während des Arbeitsvorgangs konstant bleibt, erhalten wir

die populäre Beziehung Arbeit = Kraft · Weg.

Zur Herleitung des Arbeitssatzes ziehen wir das dynamische Grundgesetz in seiner Form für Festkörper (unveränderliche Masse) heran,

multiplizieren mit dem Verschiebungsvektor dr,

verwenden die Beziehung v = drdt und integrieren entlang des Weges von Anfangspunkt r₀ bis zum Endpunkt r₁ mit den zugehörigen Geschwindigkeiten v₀ und v₁

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung ist die Arbeit gemäss Gl. 2.1

Auf der rechten Seite ergibt sich nach der Integration die Differenz der kinetischen Energie (Bewegungsenergie).

Damit gilt die

Äquivalenz von Arbeit und Energie

Energie ist das Vermögen Arbeit zu verrichten.

Gegenüber der Arbeit, die einen Vorgang darstellt, ist die Energie ein Zustand.

Die Dimension der Energie ist analog zur Arbeit [M·L²·T ⁻²] mit der Einheit 1 J = 1 Nm. In allgemeiner Formulierung besagt der

Arbeitssatz der Mechanik

Die Arbeit, die eine Kraft zwischen zwei Bahnpunkten verrichtet, entspricht der Änderung der kinetischen Energie

W = r₁∫r₀F·dr = E_K1 − E_K0

Beim Anheben eines Körpers im Gravitationsfeld wird Arbeit verrichtet.

Die Kraft F zeigt stets nach oben. Daher wird F nur entlang eines Weges mit vertikalen Anteilen Arbeit verrichten. Eine vektorielle Komponentenschreibweise verdeutlicht diesen Sachverhalt:

Die Durchführung der Integration ergibt

Dabei hat die Form der Bahn offensichtlich keinerlei Einfluß auf die Arbeit.

Die Hubarbeit

W_Hub = m·g·h

ist unabhängig von der Bahnform und ergibt sich aus dem Produkt von Gewichtskraft m·g und Höhenunterschied h im Schwerefeld.

Sie ist äquivalent zur Änderung der potentiellen (Lage–)Energie eines Körpers.

Die potentiellen Energie ist offensichtlich abhängig von der Wahl des Bezugssystems, in dem die Höhe h definiert ist. In diesem Sinne wird daher ein Nullniveau festgelegt und die Höhe h jeweils darauf bezogen. Es ist zu beachten, dass die potentielle Energie damit positive und negative Werte annehmen kann.

Von praktischem Interesse ist grundsätzlich die Potentialdifferenz, die wiederum von der Wahl des Nullniveaus unabhängig ist.

Durch das Anheben hat ein Körper potentielle Energie im Sinne eines Arbeitsvermögens gespeichert. Er kann also durch Herabbewegen auf das ursprüngliche Niveau eine – zur Hubarbeit äquivalente – Arbeit verrichten.

Wird eine Feder gespannt, so ist eine äußere, mit der Federkraft im Gleichgewicht stehende Kraft notwendig.

Feder mit linearer Kennlinie

F = c·s

mit

c = Federkonstante

s = Federweg

Verlängern wir nun die Feder von s₀ auf s₁, so benötigen wir dazu die Kraft

und verrichten mit ihr die Arbeit

Auch hier wird potentielle Energie gespeichert. Die notwendige Spannarbeit verursacht ebenfalls eine Potentialdifferenz.

Die Federspannarbeit

W_f = 12·c(s21 −s20)

mit

c = Federkonstante

s₁ = Endlänge der Feder

s₀ = Ausgangslänge der Feder

ist äquivalent der Differenz der potentiellen Energie

W_f = E_pf1 − E_pf0

Auch hier ist die Wahl des Nullniveaus beliebig. Meist wird allerdings die Länge der ungespannten Feder als Nullniveau gewählt.

Die Gleichung gilt sowohl für Zug– als auch für Druckfedern und liefert – im Gegensatz zur Lageenergie – immer eine positive Federenergie.

in Verschiebungsrichtung entgegen.

Die Reibungsarbeit ergibt sich damit aus

zu

Im Gegensatz zur Hub- und Federspannarbeit ist die Reibungsarbeit von der Form der Bewegungsbahn abhängig. Die durch Reibungsarbeit erzeugte Reibungsenergie besitzt kein mechanisches Arbeitsvermögen (dissipative Energie) und wird in Wärmeenergie umgesetzt.

Der Energiesatz ist auch unter dem aussagekräftigeren Begriff Energieerhaltungssatz bekannt.

Energieerhaltungssatz

Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant. Dabei kann eine Energie zwar in eine andere Energieform umgewandelt werden, jedoch nicht verlorengehen.

In dieser allgemeinen Form des Energiesatzes werden auch weitere Energieformen als die bisher angesprochenen mit einbezogen, z.B. chemische, elektrische, magnetische, Strahlungs-, Wärme-, Kernenergie.

In der Mechanik betrachten wir ausschließlich die kinetische und potentielle Energie und formulieren den

Energieerhaltungssatz der Mechanik

Die Summe der kinetischen und potentiellen Energie in einem abgeschlossenen (konservativen) mechanischen System ist jederzeit konstant.

E_K + E_P = const.

Wird einem nicht abgeschlossenen System während eines Vorgangs Energie zugeführt oder abgeführt (z.B. Wärmeenergie), so ist die Differenz der Energie am Ende des Vorgangs gleich dieser zu- oder abgeführten Energie.

Bei Kräften, denen kein Potential zugeordnet werden kann, muß deren Energie über den Arbeitssatz ermittelt werden (z.B. Reibungsenergie).

Arbeitssatz für ein nicht abgeschlossenes System

E_K1 + E_P1 + W_zu + W_ab = E_K2 + E_P2

mit

E_K1 = kinetische Energie im Zustand 1

E_P1 = potentielle Energie im Zustand 1

W_zu = zugeführte Arbeit (Antrieb)

W_ab = abgeführte Arbeit (Abtrieb, Reibung)

E_K2 = kinetische Energie im Zustand 2

E_P2 = potentielle Energie im Zustand 2

Als Leistung P wird die in einem spezifischen Zeitabschnitt Δt verrichtete Arbeit ΔW bezeichnet. Wir beziehen also die Arbeit auf die Zeit und erhalten in differentieller Schreibweise

Mit der Arbeit einer Kraft, die auf einen Massenpunkt wirkt

resultiert die

Leistung

P = F ·drdt = F·v

mit

F = wirkende Kraft

v = Geschwindigkeit des Massenpunkts

Die Leistung ist wie die Arbeit eine skalare Größe mit der Dimension [M·L²·T ⁻³] und der Einheit Watt (1 W = 1 Nms). Mit der früher verwendeten Einheit PS besteht der Zusammenhang

Mit Reibung geht Energie und auch Leistung verloren. Diese bezeichnen wir als Verlustleistung. Gemäß der allgemeinen Auffassung vom Wirkungsgrad als

definieren wir den mechanischen Wirkungsgrad η als Verhältnis von Nutzleistung P_N zu zugeführter Leistung P_z.

Die Nutzleistung P_N ergibt sich zudem als Differenz von zugeführter Leistung P_z und Verlustleistung P_v.

Wirkungsgrad eines mechanischen Systems

η = P_NP_z = 1− P_vP_z

mit

P_z = zugeführte Leistung

P_N = Nutzleistung

P_v = Verlustleistung

Für mehrere hintereinandergeschaltete Mechanismen und deren Teilwirkungsgrade gilt

Gesamtwirkungsgrad einer Mechanismenkette als Produkt der Teilwirkungsgrade

η_ges = nΠi=1η_i = η₁ · η₂ · ... · η_n

mit η_i = Teilwirkungsgrad