Mechanische Systeme, bei denen die wirkende Kraft stets entgegen der aktuellen Bewegungsrichtung gerichtet ist, vollführen Schwingungen oder Oszillationen. Bewegungen, bei denen sich der Verlauf einer Größe x(t) nach jeweils einer gewissen Zeit T wiederholt, nennen wir periodische Schwingungen.

Die Zeit T wird Periode der Schwingung oder Schwingungsdauer genannt. Ihr Kehrwert

heißt Schwingungszahl oder Frequenz der Schwingung. Sie gibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit an. Ihre Dimension ist T ⁻¹ und ihre Einheit ist 1 Hz = 1s benannt nach Heinrich Hertz.

Die halbe Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Extremwerten (Maximalwert x_max, Minimalwert x_min) einer im Verlauf einer Periode betrachteten Größe hat die Bezeichnung Amplitude A.

Die Frequenz charakterisiert die Schnelligkeit und die Amplitude die Grösse einer Schwingung.

Schwingungen werden durch unterschiedliche Betrachtungsweisen klassifiziert:

1. Bei der periodischen Schwingung bleiben Amplitude und Schwingungsdauer konstant.
2. Die harmonische Schwingung gehorcht der reinen Kosinus- bzw. der Sinusfunktion.
3. Der zeitliche Verlauf der Amplitude einer Schwingung führt zu den Bezeichnungen
   1. ungedämpfte Schwingung (A = const)
   2. gedämpfte Schwingung (dAdt < 0)
   3. angefachte Schwingung (dAdt > 0)
4. Die Anzahl der Bewegungsmöglichkeiten eines schwingenden Systems wird oft zur Einteilung in Schwinger mit einem, zwei, …, n Freiheitsgraden herangezogen.
5. Schwingungen werden weiterhin nach dem Typ der bewegungsbeschreibenden Differentialgleichung unterteilt und demzufolge als lineare oder nichtlineare Schwingungen bezeichnet.
6. Eine ebenfalls übliche Einteilung von Schwingungen legt die Entstehung einer Schwingung zugrunde und bezeichnet eine kräftefreie Oszillation als freie Schwingung oder Eigenschwingung und eine periodische Bewegung unter dem Einfluss von Kräften als erzwungene Schwingung.

Einen in der technischen Praxis wichtigen Sonderfall der periodischen Schwingungen stellen die harmonischen Schwingungen dar. Bei ihnen ändert sich die betrachtete Größe x(t) nach einer Sinusfunktion.

Die harmonische Schwingung lässt sich aus der Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn insofern leicht ableiten, indem lediglich die vertikal projizierte Bewegung betrachtet und über der Zeit aufgetragen wird.

Ihre Gleichung lautet

Hierin ist A die Amplitude und ω die Kreisfrequenz als das 2π-fache der Frequenz f.

α heisst Nullphasenwinkel, bei dem die Zeitrechnung für die Schwingungsbetrachtung einsetzt. Dieser Zeitpunkt ist meist frei wählbar und daher wird bequemerweise häufig α = 0 gesetzt.

Die Anwendung des Additionstheorems der Trigonometrie

führt hier auf

Mit der Einführung zweier neuer Konstanten B = A sin α und C = A cos α erhalten wir eine äquivalente Schreibweise zu (10.3)

Eine Rücküberführung dieser neuen Konstanten in A und α gelingt mittels

Die zeitliche Ableitung von Gl. 10.4 liefert die

Bewegungsgleichungen der harmonischen Schwingung

(10.6)x = B·cos ωt + C sin ωt

(10.7)x^• = ω (−B·sin ωt + C cos ωt)

(10.8)x^•• = −ω² (B·cos ωt + C sin ωt)

Wir betrachten einführend einen freien, ungedämpften, einfachen Schwinger.

Eine Masse m wird auf einer glatten, horizontalen Unterlage geführt und ist über eine lineare Feder der Federsteifigkeit c mit dem Fundament verbunden. Der Weg s der Masse wird in positiver Richtung nach rechts gerichtet gemessen. Ebenso die Geschwindigkeit und die Beschleunigung. Die Masse wird zu Beginn der Bewegung um den Anfangsweg s₀ ausgelenkt und mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ sich selbst überlassen.

Ein Freischneiden der Masse führt unter Berücksichtigung der d'Alembertschen Trägheitskraft auf die Bewegungsgleichung

Mit der Abkürzung

erhalten wir die lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Deren allgemeine Lösung lautet analog zu Gl. (10.6)

Die Anfangsbedingungen liefern hier die Koeffizienten

Dies führt somit auf die Schwingungsgleichung des hier betrachteten Oszillators

Die Schwingungsamplitude A und die Phasenverschiebung α erhalten wir aus den Gln. (10.5) zu

Die Kreisfrequenz oder Eigenfrequenz des Systems beträgt

und die Frequenz erhalten wir über die Beziehung