Um die Bewegung eines Punktes zu beschreiben, beziehen wir uns auf ein nicht bewegtes kartesisches Koordinatensystem. Da es jedoch ein absolut ruhendes Bezugssystem nicht gibt, einigen wir uns hier auf ein nicht beschleunigtes Inertialsystem.

Ein Punkt besitzt den Freiheitsgrad f = 2 in der Ebene und f = 3 im Raum.

Im Verlauf der Zeit ändert sich die Position p des Punktes und beschreibt währenddessen die Bahn r(t).

Unter Verwendung von Polarkoordinaten (r,φ) läßt sich der Ortsvektor des Punktes p formulieren als

Position eines Punktes

r = r·e_r

r = Abstand des Punkts vom Koordinatenursprung
e_r = Einheitsvektor des Ortsvektors r

Die Geschwindigkeit des Punktes p erhalten wir über die Differenziation dessen Lage nach der Zeit t. Die Anwendung der Produktregel liefert

Hierbei bezeichnen wir die Ableitung des Einheitsvektors e_r nach φ

als Vektor e_φ, welcher ebenfalls Einheitsvektor ist und darüberhinaus senkrecht zu e_r liegt. Diese Eigenschaft lässt sich leicht mittels des verschwindenden Skalarprodukts e_r · e_φ = 0 verifizieren.

Es gilt also:

und damit erhalten wir die Geschwindigkeit des betrachteten Punktes zu

v = r^•·e_r + r·φ^•·e_φ

mit
r^• = Radialgeschwindigkeit
r·φ^• = Zirkulargeschwindigkeit

Der Geschwindigkeitsvektor v besitzt grundsätzlich die Richtung der Bahntangente und setzt sich aus der Radialgeschwindigkeit r^• und der hierzu orthogonalen Zirkulargeschwindigkeit (Umfangsgeschwindigkeit) r·φ^• zusammen.

Die Beschleunigung des Punktes p erhalten wir durch erneute Differenziation der Punktgeschwindigkeit p^•. Die Ableitung von r^• führt also auf

Mit der zeitlichen Ableitung des Einheitsvektors e_φ

und der bereits bekannten Ableitung e•r erhalten wir schliesslich über

die

Beschleunigung des Punktes p

a = (r^•• − r·φ^{• 2})·e_r + (r·φ^•• + 2 r^•·φ^• )·e_φ

mit

• (r^•• − r·φ^{• 2}) = radiale Komponente
  • r^•• = Radialbeschleunigung
  • r·φ^{• 2} = Zentripetalbeschleunigung
• (r·φ^•• + 2 r^•·φ^• ) = zirkulare Komponente
  • r·φ^•• = Zirkularbeschleunigung
  • 2 r^•·φ^• = Coriolisbeschleunigung

(2.1)p = r·e_r

(2.2)v = r^•·e_r + r·φ^•·e_φ

(2.3)a = (r^•• − r·φ^{• 2})·e_r + (r·φ^•• + 2 r^•·φ^• )·e_φ

Im Sonderfall der Bewegung entlang einer Geraden verschwinden alle Glieder, die zeitliche Ableitungen von φ beinhalten, also

p = r·e_r

v = r^•·e_r

a = r^••·e_r

Im Sonderfall der Kreisbewegung bleibt der Radius r betragsmässig konstant. Demzufolge verschwinden hier – wenn wir zulässigerweise den Koordinatenursprung in den Kreismittelpunkt legen – alle Glieder mit einer zeitlichen Ableitung von r. Wir erhalten also für den praktisch bedeutsamen Sonderfall der Kreisbewegung unter Verwendung der Buchstaben ω für die Winkelgeschwindigkeit φ^• und α für die Winkelbeschleunigung ω^• = φ^•• die Beziehungen

p = r·e_r

v = r·ω·e_φ

a = r·α·e_φ − r·ω²·e_r

mit
r·ω = Umfangsgeschwindigkeit
r·ω² = Normalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung)
r·α = Tangentialbeschleunigung

Der Punkt p hat eine Geschwindigkeit vom Betrag r·ω, die in Richtung der Kreistangente in p verläuft (e_φ). Bei einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit ω erfährt der Punkt eine Umfangsbeschleunigung r·α ebenfalls in tangentialer Richtung. In jedem Fall wirkt auf den Punkt p eine Normalbeschleunigung r·ω², die zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist (Zentripetalbeschleunigung).

Die Winkelgeschwindigkeit ω hat die Dimension T⁻¹ und wird üblicherweise in der Einheit 1s angegeben. Dies ist implizit als rads zu lesen und bedeutet, daß bei ω = 1 1s ein Winkel von 1 rad = 180°/π ≈ 57° pro Sekunde überstrichen wird.

Die Winkelbeschleunigung ω^• hat die Dimension T{−2} und die Einheit 1s².

Diese Winkelgeschwindigkeit ist nicht sehr anschaulich. Deshalb wird in der technischen Praxis häufiger die die Drehzahl n zur Bemessung einer Umlaufgeschwindigkeit verwendet. Diese legt die Anzahl der Umläufe pro Sekunde [1s] fest. Es gilt hierbei der

Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl

ω = 2π·n

mit

ω = Winkelgeschwindigkeit

n = Drehzahl

Der Kehrwert der Drehzahl ist die

Umlaufzeit T = 1n = 2πω.

Wie schon bei der geführten Bewegung entlang einer Bahn diskutiert, nennen wir die Bewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung. Wir erhalten analoge Gesetzmäßigkeiten.

α(t) = α₀ = const

ω(t) = ω₀ + α₀ t

φ(t) = φ₀ + ω₀ t + 12α₀ t²

Auch hier ist die gleichförmige Kreisbewegung ein Sonderfall mit α₀ = 0.

Bei der Zentralbewegung verschwindet die zirkulare Komponente der allgemeinen ebenen Punktbewegung (2.3).

Wir multiplizieren die Gleichung beidseitig mit ^r⁄₂ und erhalten

Dies ist allerdings äquivalent zur zeitlichen Ableitung von

Eine geometrische Interpretation finden wir im sogenannten

Flächensatz (2. Keplersches Gesetz der Planetenbewegung)

(2.12)dAdt = 12·r²·ω = const

nach dem von der Strecke, die vom Drehzentrum zum betrachteten Punkt gebildet wird, in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstrichen werden.

Die räumliche Bewegung eines Massenpunkts lässt sich mittels kartesischer Koordinaten, sogenannter natürlicher Koordinaten anhand eines begleitenden Dreibeins oder Zylinderkoordinaten beschreiben. Die letzte Methode ist gleichzeitig eine einfache Verallgemeinerung der vorstehend behandelten Polarkoordinaten und soll hier auschließlich besprochen werden.

Senkrecht zur bislang betrachteten Ebene wird die z-Koordinate als weiterer Freiheitsgrad eingeführt. Mit dem zugehörigen Einheitsvektor e_z lauten die erweiterten Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten.

(2.13)p = r·e_r + z·e_z

(2.14)v = r^•·e_r + r·φ^•·e_φ + z^•·e_z

(2.15)a = (r^•• − r·φ^{• 2})·e_r + (r·φ^•• + 2 r^•·φ^• )·e_φ + z^••·e_z

Hier ist zu beachten, dass e_r nicht in Richtung von r weist, sondern in der x/y-Ebene liegt.