Um tiefer in die Spannungsberechnung einzusteigen, ziehen wir zunächst das einfachste aller Tragwerkselemente heran, den Stab.

Wir belasten einen geraden Stab mit konstanter Querschnittsfläche A durch eine Zug-/Normalkraft N.

Die äußere Kraft verursacht innere Kräfte. Um diese sichtbar zu machen, führen wir einen Schnitt senkrecht zur Stabachse durch. Aufgrund der reinen Normalbelastung des Stabes erhalten wir eine Normalspannung, von der wir annehmen, daß sie über den Querschnitt gleich verteilt ist.^{4 Diese Annahme entspricht auch der Realität, wenn keine plötzliche Querschnittsänderung zu verzeichnen ist und der Schnitt in genügender Entfernung von den Krafteinleitungspunkten geführt wird.}

Anhand dieser Überlegungen gelangen wir zur Normalkraft und damit zum

Zusammenhang zwischen Normalkraft und Normalspannung im Stab

σ = NA

mit

σ = Normalspannung

N = Normalkraft

A = Querschnittsfläche

Bei veränderlichem Querschnitt des Stabes

halten wir die Annahme der gleichförmig verteilten Spannung über den Querschnitt aufrecht. Die Kraft ändert sich nicht entlang der Stabachse, jedoch der Querschnitt und damit die Spannung gemäß

Hinsichtlich des Vorzeichens behandeln wir die Spannung analog zur Stabkraft als:

• positiv für Zugspannung
• negativ für Druckspannung

Die Spannungsermittlung wird für die Lösung von Dimensionierungsproblemen benötigt. Bei einer vorgegebenen (werkstoffabhängigen) maximal zulässigen Spannung des Stabes lassen sich somit folgende Dimensionierungsaufgaben formulieren:

• Bestimmung der maximalen Kraft bei gegebener Stabgeometrie
• Bestimmung des minimalen Stabquerschnitts bei gegebener Stabkraft

Beispiel Ein konischer Stab mit kreisförmigem Querschnitt wird durch die Druckkraft N belastet. Welcher Spannungsverlauf ist entlang der Stabachse zu verzeichnen?

Randbedingungen:

also

Querschnittsfläche:

Normalspannung (Druck)

Beispiel Ein Stab der Länge l und Dichte ρ ist hängend eingespannt und nur durch sein Eigengewicht belastet. Wie muß sich dessen Radius - bei kreisförmigen Querschnitt - verändern, damit in jeder Schnittfläche A(z) die gleiche Spannung σ₀ zu verzeichnen ist?

mit der Querschnittsfläche

Wir stellen die Gleichgewichtsbedingung für das herausgeschnittene Stabstück auf

Das Gewicht ergibt sich gemäß

Das Volumen des Stabstücks gehorcht der Beziehung

bzw. unter Vernachlässigung gemischter differentieller Produkte

Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingung liefert

Die Trennung der Variablen ergibt

Eine Integration liefert

mit der Randbedingung z=0 erhalten wir

und damit das Ergebnis

oder in exponentieller Schreibweise

Ein auf Zug oder Druck beanspruchter Stab erfährt neben inneren Spannungen zusätzlich eine Formänderung.

Der Rundstab

Wir führen zunächst eine vereinfachte Untersuchung am Rundstab der Ursprungslänge l₀ mit konstantem Durchmesser d₀ durch. Durch eine Zugbelastung F wird der Stab um die Länge Δl gedehnt.

Die Verlängerung Δl des Stabes bezogen auf die Länge l des unbelasteten Stabes bezeichnen wir als

Dehnung

ε = Δll₀

mit

Δl = Längenänderung

l₀ = unbelastete Stablänge

Zusätzlich zur Längenänderung Δl wird der Durchmesser des Stabes verringert. Diese Durchmesseränderung nennen wir

Querkontraktion

ε_q = Δdd₀

mit

Δd = Durchmesseränderung

d₀ = unbelasteter Durchmesser

Zwischen der Dehnung und der Querkontraktion besteht ein bemerkenswerter Zusammenhang: Das Verhältnis von Querkonstruktion und Dehnung ist konstant^{5 für metallische Werkstoffe gilt 0,3} und heißt

Querkontraktionszahl oder Poissonsche ^{6Siméon Dénis Poisson (1781-1840), französischer Physiker} Zahl

ν = −ε_qε

Obwohl wir diese Zusammenhänge für einen Rundstab hergeleitet haben, gelten sie genauso für einen Stab von beliebigem Querschnitt

Eine Betrachtung der Volumenänderung

ergibt anhand des Rundstabs mit

Die relative Volumenänderung erhalten wir, indem ΔV auf das ursprüngliche Volumen V₀ bezogen wird, also

Wegen ε<<1 und ε_q<<1 vernachlässigen wir alle daraus gebildeten Glieder höherer Ordnung und schreiben

Damit erhalten wir unter Verwendung der Querkontraktionszahl ν die

relative Volumenänderung

ΔVV = ε(1 − 2ν)

Anhand der Beziehung für die Volumenänderung lassen sich die theoretischen Grenzen für ν angeben. ν=0 gilt für Materialien die keine Querkontraktion erfahren (Beton) und ν=0,5 ist der Wert für inkompressibles Material ohne Volumenänderung (Gummi)^{7 Diese Eigenschaft ist beim Einbau von O-Ringen zu beachten, die Nut muß Platz für den deformierten Ring bieten.} .

Der Stab mit veränderlichem Querschnitt

Die Beziehungen für die Dehnung und Querkontraktion lassen sich nur auf Stäbe mit konstantem Querschnitt anwenden.

Sowohl die Spannungen innerhalb eines Stabes als auch dessen Verformungen (Dehnung) sind die Folge einer äußeren Belastung. Demnach muß auch ein Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung formuliert werden können. Die physikalische Beziehung zwischen diesen beiden Größen heißt Stoffgesetz. Wie es die Beziehung andeutet, ist das Stoffgesetz abhängig von dem Werkstoff des Körpers und kann darüberhinaus nur empirisch mittels eines Versuchs gefunden werden.

Als wichtigstes Experiment gilt dafür der sogenannte Zugversuch, dessen Ablauf und Randbedingungen streng festgelegt sind (DIN 50145).

Der Zugversuch

Zur Ermittlung des Zusammenhangs zwischen Zugspannung und Dehnung wird ein in seinen Abmessungen vorgeschriebener Probestab in eine Prüfmaschine eingespannt und - zügig, jedoch nicht ruckartig - gedehnt.

Die von der Maschine auf den Stab ausgeübte Kraft F erzeugt im Stab die Normalspannung σ = FA. Gleichzeitig ändert sich die Länge l und ergibt eine zugehörige Dehnung ε = Δll₀. Die Kraft wird solange gesteigert, bis die Probe reißt. Der Verlauf von σ über ε wird im sogenannten Spannungs-Dehnungs-Diagramm aufgezeichnet.

Die resultierenden Kurven haben für verschiedene Materialien unterschiedliches Aussehen.

Im vorstehenden Bild ist das Spannungs-Dehnungs-Diagramm eines zähen Baustahls zu sehen, das wir nun abschnittsweise diskutieren wollen:

• Vom unbelasteten Zustand aus verläuft die Kurve bis zur Proportionalitätsgrenze σ_P linear. Dieser Bereich ist der einfachste und gleichzeitig für Festigkeitsberechnungen der maßgebliche.
  
• Die Elastizitätsgrenze σ_E - nicht weit von σ_P - kennzeichnet die Spannung, bis zu der bei nachfolgender Entlastung keine meßbar bleibende Verformung des Stabes auftritt, der Werkstoff zeigt somit elastisches Verhalten.
  
• Bei weiter zunehmender Belastung wird der Stab bleibend gedehnt und erreicht die sogenannte Streckgrenze^{8 Auch Fließgrenze; früher σ_S oder σ_F.} R_e. Ab dieser Spannung beginnt ein Verschiebungsprozeß im Kristallgefüge des Werkstoffs, der als Fließen bezeichnet wird. Die Spannung bleibt nun kurzzeitig trotz zunehmender Dehnung nahezu konstant.^{9 Einige Materialwerkstoffe besitzen keine ausgeprägte Streckgrenze, für die dann ersatzweise die R_P0,2-Grenze gewählt wird. Dies ist diejenige Spannung, bei der nach anschließender Entlastung eine bleibende Verlängerung von 0,2% zu verzeichnen ist.}
  
• Nach dem Fließen setzt die sogenannte Kaltverfestigung ein. Dieser Vorgang ermöglicht eine weitere Zunahme der Spannung, also einen weiteren Anstieg der Kurve.
  
• Am Ende des Verfestigungsbereichs erfolgt gleichzeitig mit einer Einschnürung des Querschnitts der Probe der Bruch des Stabes an dieser Stelle. Die zugehörige Spannung bezeichnen wir als Bruchspannung^{10Früher σ_b. Für häufig verwendete Baustähle ist diese Grenze Teil der Bezeichnung, z.B. ST52, ST37 mit R_m = 520 Nmm2 bzw. 370 Nmm2 .} R_m.

Wir wollen uns nachfolgend auf ein linear-elastisches Werkstoffverhalten beschränken, also lediglich den proportionalen Teil des Spannungs-Dehnungs-Diagramms berücksichtigen. Demzufolge gilt σ∼ε und mit dem Proportionalitätsfaktor E gelangen wir zu dem

Elastizitätsgesetz (Hookesches Gesetz)

σ = E·ε

mit

σ = Spannung [Nm²]

E = Elastizitätsmodul [Nm²]

ε = Dehnung [−]

Dieses Elastizitätsgesetz ist von fundamentaler Bedeutung für die Elastostatik bzw. die Festigkeitslehre.

Der Elastizitätsmodul E ist eine Werkstoffkonstante, deren Wert mit Hilfe des Zugversuchs bestimmt werden kann. Dessen Einheit ist dieselbe wie die der Spannung Nm².

Durch den - zum Zugversuch analogen - Druckversuch erhalten wir als Ergebnis, daß der Elastizitätsmodul für Zug und Druck gleich ist.

Elastizitätsmodul

Wir setzen nun das Elastizitätsgesetz in die Beziehung für die differentielle Verschiebung dldz ein und erhalten

bzw. unter Verwendung von der verteilten Last in Längsrichtung n(z)

und der Spannung

schließlich die

Differentialgleichung für die Stabverschiebung

(EAz´)´+n = 0 für verteilte Last f

EAz´ − F = 0 für Einzellast N

EAz − l_o = 0 für konstante Dehnsteifigkeit

mit

EA = Dehnsteifigkeit [N]

z = Verschiebung

Die Temperaturerhöhung eines Stabes um die Temperaturdifferenz ΔT bewirkt eine

elastische Temperaturdehnung

ε_t = α_t·ΔT

mit

ΔT = Temperaturdifferenz [K]

α_t = Temperaturdehnungskoeffizient [1K]

In statisch bestimmten Tragwerken erfolgen Temperaturdehnungen stets spannungsfrei. In statisch überbestimmten Tragwerken treten dagegen durch gegenseitige Behinderung der Körperausdehnung innere Temperaturspannungen auf.

Beispiel

Ein Stab ist bei der Fertigung zu kurz geraten. Zum Einbau soll er daher erwärmt werden. Um wieviel Grad ist er zu erwärmen und welche Spannung herrscht nach dem Abkühlen im eingebauten Zustand?

Elastizitätsgesetz: (Einbau)

mit

und

(spannungsfreier Einbau)

(notwendige Erwärmung)

Elastizitätsgesetz: (nach Abkühlung)

(Spannung im eingebauten Zustand)

Nachfolgend wollen wir ein Tragwerk betrachten, dessen Stäbe bzw. Seile unter Belastung eine Längsdehnung erfahren.

Für eine nähere Untersuchung nehmen wir einen belasteten Stab zwischen den Knoten A und B der Länge l zu Hilfe. Aus den Verformungen des restlichen Tragwerks in das unser Stab eingebettet ist, sei die Verschiebung u_A des Knotenpunkts A vorgegeben. Im zunächst unbelasteten Zustand und bei gleichbleibender Orientierung des Stabes muß sich Knoten B ebenfalls um u_A verschieben. Durch seine eigene axiale Belastung dehnt sich der Stab, wodurch sich der Punkt B entlang des Achseinheitsvektors e um den Betrag ε·l verlagert. Der Richtungsvektor des Stabes ergibt sich damit gemäß

Nun kann der Stab in Einklang mit der Tragwerksgeometrie eine kleine Winkeländerung φ erfahren. Dadurch ergibt sich durch Anwendung der ebenen Rotationsmatrix der Vektor

Für kleinere Winkel φ wird

und damit

bzw.

Unter Verwendung der Beziehung für r_A´B^∗ erhalten wir

bzw. wegen ε<<1 und φ<<1 unter Verwendung des Produktes ε·φ ≈ 0

Die Verlagerung u_B des Knotens B gehorcht der Beziehung

Damit erhalten wir die

Verlagerung des Stabknotens B

u_B = u_A + ε·r_AB + φ·r^{^}_AB

mit

u_A = Verlagerung des Knotens A

ε = Stabdehnung

φ = kleiner Drehwinkel

r_AB = ursprünglicher Stabvektor

Beispiel

	Ein starrer Balken ist an zwei Stäben der Dehnsteifigkeit E·A angeschlossen und wird durch die Kraft F belastet.Wie groß ist die Verschiebung des Punkts C und die Neigung des Balkens?

a) Kräfteermittlung

Knoten A:

Balken:

b) Stabdehnungen

Wegen konstanter Dehnsteifigkeit E·A gilt

c) Punktverschiebungen

Punkt A:

Punkt C:

Gleichsetzen der Verschiebungen mit u_B = 0 und ε_Balken = 0 führt auf

Wir eliminieren den Summanden mit φ₂ durch Multiplikation der Gleichung mit r_AC und lösen nach der gesuchten Balkenneigung auf

Eingesetzt in die Gleichung der Verschiebung des Balkenpunkts C liefert